向量坐标运算公式

向量坐标运算是线性代数中的基础内容，它在物理学、工程学、计算机图形学等多个领域都有广泛的应用。向量可以看作是从一个点指向另一个点的有向线段，而向量的坐标表示则是在选定的坐标系下，用有序数组来描述向量的位置和方向。

向量的基本概念

一个n维向量可以表示为一个有序的n元组，如\( \vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n) \)，其中\( v_i \)是向量在第i个维度上的分量。向量的加法和数乘（即向量与标量的乘法）是向量运算中最基本的操作。

向量坐标运算公式

1. 向量加法

两个同维向量的加法是将对应维度的分量相加。如果\(\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)\)，那么它们的和\(\vec{a} + \vec{b}\)为：

\[ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n) \]

2. 向量减法

向量减法可以视为加上另一个向量的相反数。若\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)为同维向量，则\(\vec{a} - \vec{b}\)定义为：

\[ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n) \]

3. 标量乘法

向量与标量的乘法是指向量的每个分量都乘以这个标量。若\(\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\)是一个n维向量，k是一个标量，则\(k\vec{v}\)为：

\[ k\vec{v} = (kv_1, kv_2, ..., kv_n) \]

4. 向量点积（内积）

向量点积是两个向量的分量分别相乘后求和的结果。对于\(\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)\)，其点积为：

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n \]

点积的结果是一个标量，它反映了两个向量之间的相似程度。

5. 向量叉积（外积）

向量叉积仅适用于三维空间中的向量。对于\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，其叉积为：

\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \]

叉积的结果是一个垂直于原始两向量所在平面的新向量。

这些基本的向量坐标运算构成了更复杂数学模型的基础，帮助我们在多维空间中理解和操作数据。

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